გადაწყვიტეთ 6x-9y=-1,-2x+y=1

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x-9y=-1$$

მიუმატეთ 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=9y-1$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე 9y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+y=1.

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}.

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

მიუმატეთ -3y y-ს.

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=\frac{2}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -\frac{1}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{6} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

იმისათვის, რომ 6x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

გაამარტივეთ.

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

გამოაკელით -12x+6y=6 -12x+18y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

მიუმატეთ -12x 12x-ს. პირობები -12x და 12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18y-6y=2-6$$

მიუმატეთ 18y -6y-ს.

$$12y=2-6$$

მიუმატეთ 2 -6-ს.

$$12y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: -2x+y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=\frac{4}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$