გადაწყვიტეთ 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 40 ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-x-40=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx-40. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-16 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}-x-40, როგორც \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

2x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-8=0 და 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}-x=40$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

40-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -1-ით b და -40-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 1 960-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

აიღეთ 961-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±31}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 31-ს.

$$x=\frac{32}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{32}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{8}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±31}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 31 1-ს.

$$x=-\frac{30}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{40}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

გაყავით -\frac{1}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

მიუმატეთ \frac{20}{3} \frac{1}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

მიუმატეთ \frac{1}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$