გადაწყვიტეთ 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-x-15=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx-15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-10 b=9$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}-x-15, როგორც \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-5=0 და 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}-x=15$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -1-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 1 360-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±19}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 19-ს.

$$x=\frac{20}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{20}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±19}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 1-ს.

$$x=-\frac{18}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{15}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{1}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{1}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

მიუმატეთ \frac{1}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$