გადაწყვიტეთ 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2.858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0.524815261$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -14-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 196 216-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

აიღეთ 412-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 2\sqrt{103}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

გაყავით 14+2\sqrt{103} 12-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{103} 14-ს.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

გაყავით 14-2\sqrt{103} 12-ზე.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$6x^{2}-14x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{9}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

გაყავით -\frac{7}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} \frac{49}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{7}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$