გადაწყვიტეთ 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=3 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}+7x+2, როგორც \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

3x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x+1=0 და 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, 7-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 49 -48-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±1}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 1-ს.

$$x=-\frac{6}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±1}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 -7-ს.

$$x=-\frac{8}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{7}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{49}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

გამოაკელით \frac{7}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$