გადაწყვიტეთ 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -6.

$$1,-6 2,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-6 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}-5x-1, როგორც \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 6x 6x^{2}-6x-ში.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -5-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 25 24-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±7}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 7-ს.

$$x=\frac{12}{12}$$

გაყავით 12 12-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±7}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 5-ს.

$$x=-\frac{2}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$6x^{2}-5x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

გაყავით -\frac{5}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

მიუმატეთ \frac{1}{6} \frac{25}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

მიუმატეთ \frac{5}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$