გადაწყვიტეთ 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 6.

$$1,6 2,3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+6=7 2+3=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=2 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}+5x+1, როგორც \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 2x 6x^{2}+2x-ში.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x+1=0 და 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, 5-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 25 -24-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±1}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 1-ს.

$$x=-\frac{4}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±1}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 -5-ს.

$$x=-\frac{6}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

გაყავით \frac{5}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{6} \frac{25}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

გამოაკელით \frac{5}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$