გადაწყვიტეთ 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6x^{2}+ax+bx+3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=2 b=9$$

ხელახლა დაწერეთ 6x^{2}+11x+3, როგორც \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x+1=0 და 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, 11-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 121 -72-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±7}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 7-ს.

$$x=-\frac{4}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±7}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 -11-ს.

$$x=-\frac{18}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

გაყავით \frac{11}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{121}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

გამოაკელით \frac{11}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$