გადაწყვიტეთ 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0.107142857+0.079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0.107142857-0.079859571i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 56-ით a, -12-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

მიუმატეთ 144 -224-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

აიღეთ -80-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 4i\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

გაყავით 12+4i\sqrt{5} 112-ზე.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{5} 12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

გაყავით 12-4i\sqrt{5} 112-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 56-ზე.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

56-ზე გაყოფა აუქმებს 56-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{56} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

გაყავით -\frac{3}{14}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{28}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{28}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{28} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{56} \frac{9}{784}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

მიუმატეთ \frac{3}{28} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$