გადაწყვიტეთ 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გადაამრავლეთ 1+x და 1+x, რათა მიიღოთ \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1+x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 54 1+2x+x^{2}-ზე.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

გამოაკელით 1215 ორივე მხარეს.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

გამოაკელით 1215 54-ს -1161-ის მისაღებად.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 54-ით a, 108-ით b და -1161-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

აიყვანეთ კვადრატში 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

გაამრავლეთ -216-ზე -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

მიუმატეთ 11664 250776-ს.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

აიღეთ 262440-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -108 162\sqrt{10}-ს.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

გაყავით -108+162\sqrt{10} 108-ზე.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 162\sqrt{10} -108-ს.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

გაყავით -108-162\sqrt{10} 108-ზე.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გადაამრავლეთ 1+x და 1+x, რათა მიიღოთ \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1+x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 54 1+2x+x^{2}-ზე.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

გამოაკელით 54 ორივე მხარეს.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

გამოაკელით 54 1215-ს 1161-ის მისაღებად.

$$108x+54x^{2}=1161$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

ორივე მხარე გაყავით 54-ზე.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

54-ზე გაყოფა აუქმებს 54-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

გაყავით 108 54-ზე.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{1161}{54} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 27-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

მიუმატეთ \frac{43}{2} 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$