გადაწყვიტეთ 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

გამოაკელით 12 5-ს.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 3-ით b და -7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 9 -28-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ -19-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{19}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

გაყავით -3+i\sqrt{19} -2-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{19} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

გაყავით -3-i\sqrt{19} -2-ზე.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

გამოაკელით 5 12-ს.

$$-x^{2}+3x=7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

გაყავით 3 -1-ზე.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

გაყავით 7 -1-ზე.

$$x^{2}-3x=-7$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -7 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$