გადაწყვიტეთ 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0.236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1.449117005$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

დააჯგუფეთ 9y^{2} და -4y^{2}, რათა მიიღოთ 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6 5y+9-ზე.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 30y+54 y-ზე.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

დააჯგუფეთ 5y^{2} და 30y^{2}, რათა მიიღოთ 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

დააჯგუფეთ 5y და 54y, რათა მიიღოთ 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 35-ით a, 59-ით b და 12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

აიყვანეთ კვადრატში 59.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

გაამრავლეთ -140-ზე 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

მიუმატეთ 3481 -1680-ს.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -59 \sqrt{1801}-ს.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{1801} -59-ს.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

დააჯგუფეთ 9y^{2} და -4y^{2}, რათა მიიღოთ 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6 5y+9-ზე.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 30y+54 y-ზე.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

დააჯგუფეთ 5y^{2} და 30y^{2}, რათა მიიღოთ 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

დააჯგუფეთ 5y და 54y, რათა მიიღოთ 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 35-ზე.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

35-ზე გაყოფა აუქმებს 35-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

გაყავით \frac{59}{35}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{59}{70}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{59}{70}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{59}{70} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

მიუმატეთ -\frac{12}{35} \frac{3481}{4900}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

გაამარტივეთ.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

გამოაკელით \frac{59}{70} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$