გადაწყვიტეთ 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1.744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0.344030651$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -7-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 49 60-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 \sqrt{109}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{109} 7-ს.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

გამოაკელით -3 0-ს.

$$5x^{2}-7x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

გაყავით -\frac{7}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} \frac{49}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

მიუმატეთ \frac{7}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$