გადაწყვიტეთ 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 24 ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-15 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}-7x-24, როგორც \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

5x-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-7x=24$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -7-ით b და -24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 49 480-ს.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

აიღეთ 529-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±23}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 23-ს.

$$x=\frac{30}{10}$$

გაყავით 30 10-ზე.

$$x=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{7±23}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 23 7-ს.

$$x=-\frac{16}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-16}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{8}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

გაყავით -\frac{7}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

მიუმატეთ \frac{24}{5} \frac{49}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

მიუმატეთ \frac{7}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$