გადაწყვიტეთ 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -40-ით b და 85-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 1600 -1700-ს.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

აიღეთ -100-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

-40-ის საპირისპიროა 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{40±10i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 40 10i-ს.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

გაყავით 40+10i 10-ზე.

$$x=4+i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{40±10i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10i 40-ს.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

გაყავით 40-10i 10-ზე.

$$x=4-i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4+i x=4-i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

გამოაკელით 85 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

85-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

გაყავით -40 5-ზე.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

გაყავით -85 5-ზე.

$$x^{2}-8x=-17$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

მიუმატეთ -17 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=i x-4=-i$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4+i x=4-i$$