გადაწყვიტეთ 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x^{2}-4x+3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-3 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-4x+3, როგორც \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და x-1=0.

$$x=3 x=1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -20-ით b და 15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 400 -300-ს.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

აიღეთ 100-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

-20-ის საპირისპიროა 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{20±10}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 20 10-ს.

$$x=\frac{30}{10}$$

გაყავით 30 10-ზე.

$$x=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{20±10}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10 20-ს.

$$x=\frac{10}{10}$$

გაყავით 10 10-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3 x=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-20x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

გაყავით -20 5-ზე.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

გაყავით -15 5-ზე.

$$x^{2}-4x=-3$$

გაყავით -4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

მიუმატეთ -3 4-ს.

$$x^{2}-4x+4=1$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$x-2=1 x-2=-1$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=1$$