გადაწყვიტეთ 5x^2-12x+4=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -12.

$$a=-10 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}-12x+4, როგორც \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

5x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და 5x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -12-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 144 -80-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±8}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 8-ს.

$$x=\frac{20}{10}$$

გაყავით 20 10-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±8}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 12-ს.

$$x=\frac{4}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-12x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

გაყავით -\frac{12}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{6}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{6}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{6}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{5} \frac{36}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$