გადაწყვიტეთ 5x^2+8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=-2 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}+8x-4, როგორც \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-2=0 და x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 8-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 64 80-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±12}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 12-ს.

$$x=\frac{4}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±12}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 -8-ს.

$$x=-\frac{20}{10}$$

გაყავით -20 10-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$5x^{2}+8x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

გაყავით \frac{8}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} \frac{16}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

გამოაკელით \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$