გადაწყვიტეთ 5x^2+8x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}\approx -0.136675042$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}\approx -1.463324958$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 8-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 64 -20-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

აიღეთ 44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-8}{10}$$

გაყავით -8+2\sqrt{11} 10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{11} -8-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-8}{10}$$

გაყავით -8-2\sqrt{11} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+8x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+8x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}$$

გაყავით \frac{8}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{16}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{16}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{11}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

გამოაკელით \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$