გადაწყვიტეთ 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x^{2}+12x+36=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+36. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 12.

$$a=6 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+12x+36, როგორც \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით x+6=0.

$$x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 60-ით b და 180-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 3600 -3600-ს.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

გაყავით -60 10-ზე.

$$x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

გამოაკელით 180 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

180-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

გაყავით 60 5-ზე.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

გაყავით -180 5-ზე.

$$x^{2}+12x=-36$$

გაყავით 12, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 6-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 6-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

მიუმატეთ -36 36-ს.

$$x^{2}+12x+36=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+12x+36. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x+6=0 x+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-6 x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=-6$$