გადაწყვიტეთ 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0.6+1.280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0.6-1.280624847i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 6-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 36 -200-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

აიღეთ -164-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 2i\sqrt{41}-ს.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

გაყავით -6+2i\sqrt{41} 10-ზე.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{41} -6-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

გაყავით -6-2i\sqrt{41} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

გაყავით -10 5-ზე.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

გაყავით \frac{6}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{25}-ს.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

გამოაკელით \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$