გადაწყვიტეთ 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0.4+0.663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0.4-0.663324958i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 4-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 16 -60-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

აიღეთ -44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

გაყავით -4+2i\sqrt{11} 10-ზე.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{11} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

გაყავით -4-2i\sqrt{11} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

გაყავით \frac{4}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{2}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{2}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{5} \frac{4}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$