გადაწყვიტეთ 5x^2+3x-11=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{229} - 3}{10} \approx 1.213274595$$

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}\approx -1.813274595$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 3-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+220}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 9 220-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 \sqrt{229}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{229} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

გამოაკელით -11 0-ს.

$$5x^{2}+3x=11$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{11}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{11}{5}$$

გაყავით \frac{3}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{11}{5}+\frac{9}{100}$$

მიუმატეთ \frac{11}{5} \frac{9}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{229}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{229}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{229}}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{229}}{10}$$

გამოაკელით \frac{3}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$