გადაწყვიტეთ 5x^2+3x+5=7

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 5 = 7$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 7 ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x+5-7=0$$

გამოაკელით 7 5-ს -2-ის მისაღებად.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-2 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}+3x-2, როგორც \left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x 5x^{2}-2x-ში.

$$x\left(5x-2\right)+5x-2$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-2\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-2=0 და x+1=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+3x+5=7$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x+5-7=7-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+3x+5-7=0$$

გამოაკელით 7 5-ს.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 3-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 9 40-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-3±7}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±7}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 7-ს.

$$x=\frac{4}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±7}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 -3-ს.

$$x=-\frac{10}{10}$$

გაყავით -10 10-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+5=7$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x+5-5=7-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+3x=7-5$$

გამოაკელით 5 7-ს.

$$5x^{2}+3x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{2}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

გაყავით \frac{3}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} \frac{9}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

გამოაკელით \frac{3}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$