გადაწყვიტეთ 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 3-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 9 -20-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

აიღეთ -11-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{11} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

გაყავით \frac{3}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{9}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

გამოაკელით \frac{3}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$