გადაწყვიტეთ 5x^2+25x-10=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x - 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}\approx 0.372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}\approx -5.372281323$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 25-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+200}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 625 200-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{825}}{2\times 5}$$

აიღეთ 825-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 5\sqrt{33}-ს.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-25}{10}$$

გაყავით -25+5\sqrt{33} 10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5\sqrt{33} -25-ს.

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-25}{10}$$

გაყავით -25-5\sqrt{33} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+25x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+25x=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$5x^{2}+25x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=\frac{10}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=\frac{10}{5}$$

გაყავით 25 5-ზე.

$$x^{2}+5x=\frac{10}{5}$$

გაყავით 10 5-ზე.

$$x^{2}+5x=2$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$