გადაწყვიტეთ 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 21.

$$a=1 b=20$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}+21x+4, როგორც \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x+1=0 და x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 21-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 441 -80-ს.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-21±19}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -21 19-ს.

$$x=-\frac{2}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-21±19}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 -21-ს.

$$x=-\frac{40}{10}$$

გაყავით -40 10-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

გაყავით \frac{21}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{21}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{21}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{21}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{5} \frac{441}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

გამოაკელით \frac{21}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$