გადაწყვიტეთ 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0.056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3.543559577$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 18-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 324 -20-ს.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

აიღეთ 304-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -18 4\sqrt{19}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

გაყავით -18+4\sqrt{19} 10-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{19} -18-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

გაყავით -18-4\sqrt{19} 10-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}+18x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

გაყავით \frac{18}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{9}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{9}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{9}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{81}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

გამოაკელით \frac{9}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$