გადაწყვიტეთ 5x+7y=22,quad6x+2y=20

$$5 x + 7 y = 22 , \quad 6 x + 2 y = 20$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+7y=22$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-7y+22$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+22\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -7y+22.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y+22}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+2y=20.

$$6\left(-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}\right)+2y=20$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-7y+22}{5}.

$$-\frac{42}{5}y+\frac{132}{5}+2y=20$$

მიუმატეთ -\frac{42y}{5} 2y-ს.

$$-\frac{32}{5}y+\frac{132}{5}=20$$

გამოაკელით \frac{132}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{32}{5}y=-\frac{32}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{32}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{7}{5}y+\frac{22}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-7+22}{5}$$

მიუმატეთ \frac{22}{5} -\frac{7}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 6}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 6}\\-\frac{6}{5\times 2-7\times 6}&\frac{5}{5\times 2-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{7}{32}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 22+\frac{7}{32}\times 20\\\frac{3}{16}\times 22-\frac{5}{32}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+7y=22,6x+2y=20$$

იმისათვის, რომ 5x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$6\times 5x+6\times 7y=6\times 22,5\times 6x+5\times 2y=5\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$30x+42y=132,30x+10y=100$$

გამოაკელით 30x+10y=100 30x+42y=132-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$30x-30x+42y-10y=132-100$$

მიუმატეთ 30x -30x-ს. პირობები 30x და -30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$42y-10y=132-100$$

მიუმატეთ 42y -10y-ს.

$$32y=132-100$$

მიუმატეთ 132 -100-ს.

$$32y=32$$

ორივე მხარე გაყავით 32-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 6x+2y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+2=20$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$