გადაწყვიტეთ 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+2y=12$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-2y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+12}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

მიუმატეთ -\frac{6y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

გამოაკელით \frac{36}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

მიუმატეთ \frac{12}{5} -\frac{2}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

გამოაკელით 15x-10y=20 15x+6y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+10y=36-20$$

მიუმატეთ 6y 10y-ს.

$$16y=36-20$$

მიუმატეთ 36 -20-ს.

$$16y=16$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 3x-2y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2=4$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$