გადაწყვიტეთ 5q^2+15q+5=-6

$$5 q ^ { 2 } + 15 q + 5 = - 6$$

ამოხსნა q-ისთვის

$$q=\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}\approx -1.276393202$$

$$q=-\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}\approx -1.723606798$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5q^{2}+15q+5=-6$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5q^{2}+15q+5-\left(-6\right)=-6-\left(-6\right)$$

-6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5q^{2}+15q+5-\left(-6\right)=0$$

გამოაკელით -6 5-ს.

$$5q^{2}+15q+11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 15-ით b და 11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 5\times 11}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 15.

$$q=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 5\times 11}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$q=\frac{-15±\sqrt{225-20\times 11}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 11.

$$q=\frac{-15±\sqrt{225-220}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 225 -220-ს.

$$q=\frac{-15±\sqrt{5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$q=\frac{-15±\sqrt{5}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება q=\frac{-15±\sqrt{5}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -15 \sqrt{5}-ს.

$$q=\frac{\sqrt{5}-15}{10}$$

გაყავით -15+\sqrt{5} 10-ზე.

$$q=\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება q=\frac{-15±\sqrt{5}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{5} -15-ს.

$$q=\frac{-\sqrt{5}-15}{10}$$

გაყავით -15-\sqrt{5} 10-ზე.

$$q=-\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$q=\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2} q=-\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5q^{2}+15q+5=-6$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5q^{2}+15q+5-5=-6-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5q^{2}+15q=-6-5$$

გამოაკელით 5 -6-ს.

$$5q^{2}+15q=-11$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5q^{2}+15q}{5}=-\frac{11}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$q^{2}+\frac{15}{5}q=-\frac{11}{5}$$

გაყავით 15 5-ზე.

$$q^{2}+3q=-\frac{11}{5}$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$q^{2}+3q+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$q^{2}+3q+\frac{9}{4}=-\frac{11}{5}+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{11}{5} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$q^{2}+3q+\frac{9}{4}=\frac{1}{20}$$

დაშალეთ მამრავლებად q^{2}+3q+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{20}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(q+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{20}}$$

გაამარტივეთ.

$$q+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{10} q+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$q=\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2} q=-\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}$$