გადაწყვიტეთ 5-6x-x^2=0

$$5 - 6 x - x ^ { 2 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{14}-3\approx 0.741657387$$

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)\approx -6.741657387$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -6-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+20}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 36 20-ს.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{56}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 56-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

-6-ის საპირისპიროა 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 6 2\sqrt{14}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+6}{-2}$$

გაყავით 6+2\sqrt{14} -2-ზე.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{14} 6-ს.

$$x=\frac{6-2\sqrt{14}}{-2}$$

გაყავით 6-2\sqrt{14} -2-ზე.

$$x=\sqrt{14}-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right) x=\sqrt{14}-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-6x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}-6x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-6x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)x=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით -6 -1-ზე.

$$x^{2}+6x=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით -5 -1-ზე.

$$x^{2}+6x=5$$

გაყავით 6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+6x+3^{2}=5+3^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}+6x+9=5+9$$

მიუმატეთ 5 9-ს.

$$x^{2}+6x+9=14$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+6x+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=14$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

გაამარტივეთ.

$$x+3=\sqrt{14} x+3=-\sqrt{14}$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{14}-3 x=-\sqrt{14}-3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{14}-3\approx 0.741657387$$

$$x=-\sqrt{14}-3\approx -6.741657387$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -6-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+20}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 36 20-ს.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{56}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 56-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

-6-ის საპირისპიროა 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 6 2\sqrt{14}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+6}{-2}$$

გაყავით 6+2\sqrt{14} -2-ზე.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{14} 6-ს.

$$x=\frac{6-2\sqrt{14}}{-2}$$

გაყავით 6-2\sqrt{14} -2-ზე.

$$x=\sqrt{14}-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right) x=\sqrt{14}-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-6x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}-6x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-6x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)x=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით -6 -1-ზე.

$$x^{2}+6x=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით -5 -1-ზე.

$$x^{2}+6x=5$$

გაყავით 6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+6x+3^{2}=5+3^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}+6x+9=5+9$$

მიუმატეთ 5 9-ს.

$$x^{2}+6x+9=14$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+6x+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=14$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

გაამარტივეთ.

$$x+3=\sqrt{14} x+3=-\sqrt{14}$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{14}-3 x=-\sqrt{14}-3$$