გადაწყვიტეთ 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -90-ით b და 54-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 8100 -1080-ს.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

აიღეთ 7020-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90-ის საპირისპიროა 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 90 6\sqrt{195}-ს.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

გაყავით 90+6\sqrt{195} 10-ზე.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{195} 90-ს.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

გაყავით 90-6\sqrt{195} 10-ზე.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

გამოაკელით 54 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

54-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

გაყავით -90 5-ზე.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

გაყავით -18, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -9-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -9-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

მიუმატეთ -\frac{54}{5} 81-ს.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-18y+81. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$