გადაწყვიტეთ 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-2184. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-105 b=104$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}-x-2184, როგორც \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

5x-ის პირველ, 104-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-21 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-21=0 და 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -1-ით b და -2184-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 1 43680-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

აიღეთ 43681-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±209}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 209-ს.

$$x=\frac{210}{10}$$

გაყავით 210 10-ზე.

$$x=21$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±209}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 209 1-ს.

$$x=-\frac{208}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-208}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{104}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

მიუმატეთ 2184 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

-2184-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

გამოაკელით -2184 0-ს.

$$5x^{2}-x=2184$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

გაყავით -\frac{1}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

მიუმატეთ \frac{2184}{5} \frac{1}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

მიუმატეთ \frac{1}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$