გადაწყვიტეთ 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0.4+0.916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0.4-0.916515139i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -4-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 16 -100-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

აიღეთ -84-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 2i\sqrt{21}-ს.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

გაყავით 4+2i\sqrt{21} 10-ზე.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{21} 4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

გაყავით 4-2i\sqrt{21} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

გაყავით -5 5-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

გაყავით -\frac{4}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

მიუმატეთ -1 \frac{4}{25}-ს.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$