გადაწყვიტეთ 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9.163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0.436515154$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -48-ით b და 20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 2304 -400-ს.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

აიღეთ 1904-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

-48-ის საპირისპიროა 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 48 4\sqrt{119}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

გაყავით 48+4\sqrt{119} 10-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{119} 48-ს.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

გაყავით 48-4\sqrt{119} 10-ზე.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

გაყავით -20 5-ზე.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

გაყავით -\frac{48}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{24}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{24}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{24}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

მიუმატეთ -4 \frac{576}{25}-ს.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

მიუმატეთ \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$