გადაწყვიტეთ 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0.2+1.720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0.2-1.720465053i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -2-ით b და 15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 4 -300-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

აიღეთ -296-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{74}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{74} 10-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{74} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{74} 10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

გაყავით -15 5-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

გაყავით -\frac{2}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

მიუმატეთ -3 \frac{1}{25}-ს.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$