გადაწყვიტეთ 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 5x^{2}+ax+bx-42. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -29.

$$a=-35 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 5x^{2}-29x-42, როგორც \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

5x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -29-ით b და -42-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 841 840-ს.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

აიღეთ 1681-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29-ის საპირისპიროა 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{29±41}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 29 41-ს.

$$x=\frac{70}{10}$$

გაყავით 70 10-ზე.

$$x=7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{29±41}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 41 29-ს.

$$x=-\frac{12}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{6}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

მიუმატეთ 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

გამოაკელით -42 0-ს.

$$5x^{2}-29x=42$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

გაყავით -\frac{29}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{29}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{29}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{29}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

მიუმატეთ \frac{42}{5} \frac{841}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

მიუმატეთ \frac{29}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$