გადაწყვიტეთ 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x^{2}-2x-3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-3 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-2x-3, როგორც \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x x^{2}-3x-ში.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, -10-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 100 300-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

აიღეთ 400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±20}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 20-ს.

$$x=\frac{30}{10}$$

გაყავით 30 10-ზე.

$$x=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±20}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20 10-ს.

$$x=-\frac{10}{10}$$

გაყავით -10 10-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3 x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$5x^{2}-10x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

გაყავით -10 5-ზე.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

გაყავით 15 5-ზე.

$$x^{2}-2x=3$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

მიუმატეთ 3 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=4$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=2 x-1=-2$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-1$$