გადაწყვიტეთ 5=10t+5t^2

$$5 = 10 t + 5 t ^ { 2 }$$

ამოხსნა t-ისთვის (complex solution)

$$t=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$t=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2.414213562$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10t+5t^{2}=5$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$10t+5t^{2}-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5t^{2}+10t-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 10-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+100}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 100 100-ს.

$$t=\frac{-10±\sqrt{200}}{2\times 5}$$

აიღეთ 200-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 10\sqrt{2}-ს.

$$t=\frac{10\sqrt{2}-10}{10}$$

გაყავით -10+10\sqrt{2} 10-ზე.

$$t=\sqrt{2}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10\sqrt{2} -10-ს.

$$t=\frac{-10\sqrt{2}-10}{10}$$

გაყავით -10-10\sqrt{2} 10-ზე.

$$t=-\sqrt{2}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10t+5t^{2}=5$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}+10t=5$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5t^{2}+10t}{5}=\frac{5}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\frac{10}{5}t=\frac{5}{5}$$

გაყავით 10 5-ზე.

$$t^{2}+2t=\frac{5}{5}$$

გაყავით 5 5-ზე.

$$t^{2}+2t=1$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}+2t+1^{2}=1+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$t^{2}+2t+1=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$t^{2}+2t+1=2$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}+2t+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+1\right)^{2}=2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

გაამარტივეთ.

$$t+1=\sqrt{2} t+1=-\sqrt{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$t=-\sqrt{2}-1\approx -2.414213562$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10t+5t^{2}=5$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$10t+5t^{2}-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$5t^{2}+10t-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 5-ით a, 10-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ -20-ზე -5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+100}}{2\times 5}$$

მიუმატეთ 100 100-ს.

$$t=\frac{-10±\sqrt{200}}{2\times 5}$$

აიღეთ 200-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{2\times 5}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 10\sqrt{2}-ს.

$$t=\frac{10\sqrt{2}-10}{10}$$

გაყავით -10+10\sqrt{2} 10-ზე.

$$t=\sqrt{2}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10\sqrt{2} -10-ს.

$$t=\frac{-10\sqrt{2}-10}{10}$$

გაყავით -10-10\sqrt{2} 10-ზე.

$$t=-\sqrt{2}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10t+5t^{2}=5$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}+10t=5$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5t^{2}+10t}{5}=\frac{5}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\frac{10}{5}t=\frac{5}{5}$$

გაყავით 10 5-ზე.

$$t^{2}+2t=\frac{5}{5}$$

გაყავით 5 5-ზე.

$$t^{2}+2t=1$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}+2t+1^{2}=1+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$t^{2}+2t+1=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$t^{2}+2t+1=2$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}+2t+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+1\right)^{2}=2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

გაამარტივეთ.

$$t+1=\sqrt{2} t+1=-\sqrt{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$