გადაწყვიტეთ 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0.306122449+0.645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0.306122449-0.645362788i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 49-ით a, 30-ით b და 25-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

აიყვანეთ კვადრატში 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -196-ზე 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

მიუმატეთ 900 -4900-ს.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

აიღეთ -4000-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -30 20i\sqrt{10}-ს.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

გაყავით -30+20i\sqrt{10} 98-ზე.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20i\sqrt{10} -30-ს.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

გაყავით -30-20i\sqrt{10} 98-ზე.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

გამოაკელით 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

25-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

ორივე მხარე გაყავით 49-ზე.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

49-ზე გაყოფა აუქმებს 49-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

გაყავით \frac{30}{49}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{15}{49}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{15}{49}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{15}{49} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

მიუმატეთ -\frac{25}{49} \frac{225}{2401}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

გამოაკელით \frac{15}{49} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$