გადაწყვიტეთ 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=-1$$

$$t=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 49-ზე.

$$t^{2}-3t-4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც t^{2}+at+bt-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4.

$$1,-4 2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-4=-3 2-2=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=-4 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ t^{2}-3t-4, როგორც \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ t t^{2}-4t-ში.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი t-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით t-4=0 და t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 49-ით a, -147-ით b და -196-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

აიყვანეთ კვადრატში -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -196-ზე -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

მიუმატეთ 21609 38416-ს.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

აიღეთ 60025-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

-147-ის საპირისპიროა 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{147±245}{98} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 147 245-ს.

$$t=\frac{392}{98}$$

გაყავით 392 98-ზე.

$$t=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{147±245}{98} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 245 147-ს.

$$t=-\frac{98}{98}$$

გაყავით -98 98-ზე.

$$t=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=4 t=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

მიუმატეთ 196 განტოლების ორივე მხარეს.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

-196-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

გამოაკელით -196 0-ს.

$$49t^{2}-147t=196$$

ორივე მხარე გაყავით 49-ზე.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

49-ზე გაყოფა აუქმებს 49-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

გაყავით -147 49-ზე.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

გაყავით 196 49-ზე.

$$t^{2}-3t=4$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 4 \frac{9}{4}-ს.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}-3t+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=4 t=-1$$