გადაწყვიტეთ 49x^2-28x+4=12

$$49 { x }^{ 2 } -28x+4=12$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{7}\approx 0.780585945$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{7}\approx -0.209157374$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$49x^{2}-28x+4=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$49x^{2}-28x+4-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$49x^{2}-28x+4-12=0$$

გამოაკელით 12 4-ს.

$$49x^{2}-28x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 49-ით a, -28-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 49\left(-8\right)}}{2\times 49}$$

აიყვანეთ კვადრატში -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 49\left(-8\right)}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 49.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-196\left(-8\right)}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ -196-ზე -8.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1568}}{2\times 49}$$

მიუმატეთ 784 1568-ს.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2352}}{2\times 49}$$

აიღეთ 2352-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±28\sqrt{3}}{2\times 49}$$

-28-ის საპირისპიროა 28.

$$x=\frac{28±28\sqrt{3}}{2\times 49}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 49.

$$x=\frac{28±28\sqrt{3}}{98}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±28\sqrt{3}}{98} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 28 28\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{28\sqrt{3}+28}{98}$$

გაყავით 28+28\sqrt{3} 98-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±28\sqrt{3}}{98} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 28\sqrt{3} 28-ს.

$$x=\frac{28-28\sqrt{3}}{98}$$

გაყავით 28-28\sqrt{3} 98-ზე.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{7} x=\frac{2-2\sqrt{3}}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-28x+4=12$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$49x^{2}-28x+4-4=12-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$49x^{2}-28x=12-4$$

გამოაკელით 4 12-ს.

$$49x^{2}-28x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 49-ზე.

$$\frac{49x^{2}-28x}{49}=\frac{8}{49}$$

49-ზე გაყოფა აუქმებს 49-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{49}\right)x=\frac{8}{49}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-28}{49} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 7-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{8}{49}$$

გაყავით -\frac{4}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{8}{49}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{8+4}{49}$$

მიუმატეთ \frac{8}{49} \frac{4}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{12}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{12}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{2\sqrt{3}}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{2\sqrt{3}}{7}$$

მიუმატეთ \frac{2}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{7} x=\frac{2-2\sqrt{3}}{7}$$