გადაწყვიტეთ 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 40x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -14.

$$a=-10 b=-4$$

ხელახლა დაწერეთ 40x^{2}-14x+1, როგორც \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

10x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-1=0 და 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 40-ით a, -14-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

მიუმატეთ 196 -160-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

აიღეთ 36-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±6}{80} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 6-ს.

$$x=\frac{20}{80}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{20}{80} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 20-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±6}{80} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6 14-ს.

$$x=\frac{8}{80}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{80} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 40-ზე.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40-ზე გაყოფა აუქმებს 40-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-14}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

გაყავით -\frac{7}{20}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{40}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{40}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{40} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{40} \frac{49}{1600}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

მიუმატეთ \frac{7}{40} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$