გადაწყვიტეთ 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8.507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23.507810594$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4z^{2}+60z=800$$

გამოაკელით 800 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

800-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 60-ით b და -800-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 60.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 3600 12800-ს.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

აიღეთ 16400-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -60 20\sqrt{41}-ს.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

გაყავით -60+20\sqrt{41} 8-ზე.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20\sqrt{41} -60-ს.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

გაყავით -60-20\sqrt{41} 8-ზე.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

გაყავით 60 4-ზე.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

გაყავით 800 4-ზე.

$$z^{2}+15z=200$$

გაყავით 15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ 200 \frac{225}{4}-ს.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}+15z+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$