გადაწყვიტეთ 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -7-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 49 -16-ს.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

-7-ის საპირისპიროა 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 7 \sqrt{33}-ს.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{33} 7-ს.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

გაყავით -\frac{7}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{49}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

მიუმატეთ \frac{7}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$