გადაწყვიტეთ 4y^2+32y-420=0

$$4 y ^ { 2 } + 32 y - 420 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=-15$$

$$y=7$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y^{2}+8y-105=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც y^{2}+ay+by-105. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=8 ab=1\left(-105\right)=-105$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 8.

$$a=-7 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ y^{2}+8y-105, როგორც \left(y^{2}-7y\right)+\left(15y-105\right).

$$\left(y^{2}-7y\right)+\left(15y-105\right)$$

y-ის პირველ, 15-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$y\left(y-7\right)+15\left(y-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-7\right)\left(y+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-7=0 და y+15=0.

$$y=7 y=-15$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4y^{2}+32y-420=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 32-ით b და -420-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 4\left(-420\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 32.

$$y=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 4\left(-420\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$y=\frac{-32±\sqrt{1024-16\left(-420\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -420.

$$y=\frac{-32±\sqrt{1024+6720}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1024 6720-ს.

$$y=\frac{-32±\sqrt{7744}}{2\times 4}$$

აიღეთ 7744-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-32±88}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$y=\frac{-32±88}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-32±88}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -32 88-ს.

$$y=\frac{56}{8}$$

გაყავით 56 8-ზე.

$$y=7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-32±88}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 88 -32-ს.

$$y=-\frac{120}{8}$$

გაყავით -120 8-ზე.

$$y=-15$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=7 y=-15$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}+32y-420=0$$

მიუმატეთ 420 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y^{2}+32y-420-\left(-420\right)=-\left(-420\right)$$

-420-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4y^{2}+32y=-\left(-420\right)$$

გამოაკელით -420 0-ს.

$$4y^{2}+32y=420$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4y^{2}+32y}{4}=\frac{420}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{32}{4}y=\frac{420}{4}$$

გაყავით 32 4-ზე.

$$y^{2}+8y=\frac{420}{4}$$

გაყავით 420 4-ზე.

$$y^{2}+8y=105$$

გაყავით 8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}+8y+4^{2}=105+4^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$y^{2}+8y+16=105+16$$

მიუმატეთ 105 16-ს.

$$y^{2}+8y+16=121$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}+8y+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+4\right)^{2}=121$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y+4\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

გაამარტივეთ.

$$y+4=11 y+4=-11$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=7 y=-15$$