გადაწყვიტეთ 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-5 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-x-5, როგორც \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x 4x^{2}-5x-ში.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-5=0 და x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -1-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1 80-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±9}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 9-ს.

$$x=\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±9}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 1-ს.

$$x=-\frac{8}{8}$$

გაყავით -8 8-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

გამოაკელით -5 0-ს.

$$4x^{2}-x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

გაყავით -\frac{1}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} \frac{1}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

მიუმატეთ \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$