გადაწყვიტეთ 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx-9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -9.

$$a=-12 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-9x-9, როგორც \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

4x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -9-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 81 144-ს.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

აიღეთ 225-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

-9-ის საპირისპიროა 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±15}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 9 15-ს.

$$x=\frac{24}{8}$$

გაყავით 24 8-ზე.

$$x=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±15}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 15 9-ს.

$$x=-\frac{6}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$4x^{2}-9x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

გაყავით -\frac{9}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} \frac{81}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

მიუმატეთ \frac{9}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$