გადაწყვიტეთ 4x^2-9x+2=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x + 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -9.

$$a=-8 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-9x+2, როგორც \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right)$$

4x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(4x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და 4x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -9-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 81 -32-ს.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

-9-ის საპირისპიროა 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{9±7}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±7}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 9 7-ს.

$$x=\frac{16}{8}$$

გაყავით 16 8-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±7}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 9-ს.

$$x=\frac{2}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-9x+2-2=-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$4x^{2}-9x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=-\frac{2}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{2}{4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{1}{2}$$

გაყავით -\frac{9}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{81}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

მიუმატეთ \frac{9}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$